在我们使用k-NN模型时，需要计算测试集中每一点到训练集中每一点的欧氏距离，即需要求得两矩阵之间的欧氏距离。在实现k-NN算法时通常有三种方案，分别是使用两层循环，使用一层循环和不使用循环。

使用两层循环

分别对训练集和测试集中的数据进行循环遍历，计算每两个点之间的欧式距离，然后赋值给dist矩阵。此算法没有经过任何优化。

num_test = X.shape[0]

    num_train = self.X_train.shape[0]

    dists = np.zeros((num_test, num_train))

    for i in xrange(num_test):

      for j in xrange(num_train):

        #####################################################################

        # TODO:                                                             #

        # Compute the l2 distance between the ith test point and the jth    #

        # training point, and store the result in dists[i, j]. You should   #

        # not use a loop over dimension.                                    #        #####################################################################

        # pass        dists[i][j] = np.sqrt(np.sum(np.square(X[i] - self.X_train[j])))

        #####################################################################

        #                       END OF YOUR CODE                            #        #####################################################################

    return dists

使用一层循环

使用矩阵表示训练集的数据，计算测试集中每一点到训练集矩阵的距离，可以对算法优化为只使用一层循环。

def compute_distances_one_loop(self, X):

    """

    Compute the distance between each test point in X and each training point

    in self.X_train using a single loop over the test data.

    Input / Output: Same as compute_distances_two_loops

    """

    num_test = X.shape[0]

    num_train = self.X_train.shape[0]

    dists = np.zeros((num_test, num_train))

    for i in xrange(num_test):

      #######################################################################

      # TODO:                                                               #

      # Compute the l2 distance between the ith test point and all training #

      # points, and store the result in dists[i, :].                        #      #######################################################################

      # pass

      dists[i] = np.sqrt(np.sum(np.square(self.X_train - X[i]), axis = 1))      #######################################################################

      #                         END OF YOUR CODE                            #      #######################################################################

    return dists

不使用循环

运算效率最高的算法是将训练集和测试集都使用矩阵表示，然后使用矩阵运算的方法替代之前的循环操作。但此操作需要我们对矩阵的运算规则非常熟悉。接下来着重记录如何计算两个矩阵之间的欧式距离。

记录测试集矩阵P的大小为M*D，训练集矩阵C的大小为N*D（测试集中共有M个点，每个点为D维特征向量。训练集中共有N个点，每个点为D维特征向量） 
记PiPi是P的第i行，记CjCj是C的第j行 

首先计算PiPi和CjCj之间的距离dist(i,j) 

我们可以推广到距离矩阵的第i行的计算公式 

继续将公式推广为整个距离矩阵 

表示为python代码：

def compute_distances_no_loops(self, X):

    """

    Compute the distance between each test point in X and each training point

    in self.X_train using no explicit loops.

    Input / Output: Same as compute_distances_two_loops

    """

    num_test = X.shape[0]

    num_train = self.X_train.shape[0]

    dists = np.zeros((num_test, num_train))

    #########################################################################

    # TODO:                                                                 #

    # Compute the l2 distance between all test points and all training      #

    # points without using any explicit loops, and store the result in      #

    # dists.                                                                #

    #                                                                       #

    # You should implement this function using only basic array operations; #

    # in particular you should not use functions from scipy.                #

    #                                                                       #

    # HINT: Try to formulate the l2 distance using matrix multiplication    #

    #       and two broadcast sums.                                         #    #########################################################################

    # pass

    dists = np.sqrt(-2*np.dot(X, self.X_train.T) + np.sum(np.square(self.X_train), axis = 1) + np.transpose([np.sum(np.square(X), axis = 1)]))

    #########################################################################

    #                         END OF YOUR CODE                              #    #########################################################################

    return dists